Analysis Beispiele

$y = 3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{4 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$3 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$3 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$3 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{5} (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\log_{5} (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\log_{5} (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2} \ln (5)}$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{u_{2} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \cdot 7$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{7 x \ln (5)}$ und $7$ .

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$12 e^{4 x} + \frac{1}{x \ln (5)}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x \ln (5)} + 12 e^{4 x}$