Analysis Beispiele

$y = 3 e^{\frac{6}{x}}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{\frac{6}{x}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{6}{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{6}{x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{6}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{6}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{6}{x}$ .

$3 (e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 e^{\frac{6}{x}} (6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$18 e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$- 18 e^{\frac{6}{x}} x^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 e^{\frac{6}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 18$ .

$\frac{- 18}{x^{2}} e^{\frac{6}{x}}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{- 18}{x^{2}}$ und $e^{\frac{6}{x}}$ .

$\frac{- 18 e^{\frac{6}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{18 e^{\frac{6}{x}}}{x^{2}}$