Analysis Beispiele

$y = 3 (4 x + \ln ({(x^{2})}^{2}))$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{2 \cdot 2}))]$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{4}))]$

Schritt 1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (4 x + \ln (x^{4}))$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \ln (x^{4})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Schritt 1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$3 (4 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$3 (4 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$3 (4 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} (4 x^{3}))$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$3 (4 + \frac{4}{x^{4}} x^{3})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{4}{x^{4}}$ und $x^{3}$ .

$3 (4 + \frac{4 x^{3}}{x^{4}})$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}})$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (4 + \frac{4}{x})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 4 + 3 \frac{4}{x}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 + 3 \frac{4}{x}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{x}$ .

$12 + \frac{3 \cdot 4}{x}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 + \frac{12}{x}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{12}{x} + 12$