Analysis Beispiele

$y = 3 {(2 - x^{2})}^{4}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 {(2 - x^{2})}^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$3 (4 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 ({(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} (2 x)$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$

Schritt 3.8.2

Stelle die Faktoren von $- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$ um.

$- 24 x {(2 - x^{2})}^{3}$