Analysis Beispiele

$y = 3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 4^{x}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$3 (4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$3 (4^{x^{2} + 2} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + 0)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$ um.

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$ um.

$6 x \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4)$