Analysis Beispiele

$y = 2 e^{\sqrt{5 x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $5^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Kombiniere $5^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$