Analysis Beispiele

$y = 2 e^{3 x} + 1$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{3 x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 e^{3 x} + 0$

Schritt 3.2

Addiere $6 e^{3 x}$ und $0$ .

$6 e^{3 x}$