Analysis Beispiele

$y = 16 \arcsin (\frac{x}{4}) - x \sqrt{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 \arcsin (\frac{x}{4}) - x \sqrt{16 - x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 \arcsin (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \arcsin (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 \arcsin (\frac{x}{4})]$ .

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Schritt 2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 \arcsin (\frac{x}{4})$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{4})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x}{4}$ .

$16 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$16 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{4}$ .

$16 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$16 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot \frac{1}{4}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$16 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ .

$16 \frac{1}{4 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ .

$\frac{16}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}})} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - x^{2}}$ als ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{d}{d x} [x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $16 - x^{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $16 - x^{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.16

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.18

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.19

Kombiniere $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.20

Bringe ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.21

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.22

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.22.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.22.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.22.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (x (- \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.24

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (- \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.25

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (- \frac{x^{1} x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.26

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (- \frac{x^{1} x^{1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.27

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (- \frac{x^{1 + 1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.28

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.29

Mutltipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.30

Um ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32

Multipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.32.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.32.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.33

Vereinfache ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.34

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Um $\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} \cdot \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.3

Um $- \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} \cdot \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ mit $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ .

$\frac{4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 2 x^{2} + 16) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.2.4.3

Stelle die Faktoren von $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} - \frac{(- 2 x^{2} + 16) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (- 2 x^{2} + 16) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} (- 2 x^{2} + 16) + 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{- (\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} (- 2 x^{2} + 16)) + 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.2

Es sei $u = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot - 8 + 4 u \cdot 2}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.2.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} - 8 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 4 u \cdot 2}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} - 8 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 8 u}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u$ durch ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} - 8 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ als ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ als ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.6

Multipliziere $(4 + x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(4 (4 - x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.7.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\frac{{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.7.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\frac{\frac{{(16 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.7.3

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.8

Multipliziere $(4 + x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(4 (4 - x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.9.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.9.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.9.3

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.10

Addiere $- 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 0}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.4.11

Addiere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{16}{16} - \frac{x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{16 - x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.5.3

Schreibe $\frac{16 - x^{2}}{16}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.5.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{4^{2} - x^{2}}{16}}}$

Schritt 4.5.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}$

Schritt 4.5.4

Schreibe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ um.

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Schritt 4.5.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(4 + x) (4 - x)$ heraus.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}$

Schritt 4.5.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 4.5.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}$

Schritt 4.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

Schritt 4.5.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}}$

Schritt 4.6

Kombiniere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ .

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}}{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}}$

Schritt 4.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot \frac{4}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

Schritt 4.8

Kombinieren.

$\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

Schritt 4.10

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \cdot 4}{2 (\sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $x^{2} \cdot 4$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} \cdot 2)}{2 (\sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

Schritt 4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} \cdot 2)}{2 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

Schritt 4.11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

Schritt 4.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $\frac{2 \cdot x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

Schritt 4.14

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.14.1

Mutltipliziere $\frac{2 \cdot x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

Schritt 4.14.2

Potenziere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

Schritt 4.14.3

Potenziere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1} {\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1}}$

Schritt 4.14.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.14.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}}$

Schritt 4.14.6

Schreibe ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ als $(4 + x) (4 - x)$ um.

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Schritt 4.14.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ als ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.14.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.14.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.14.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.14.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.14.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{1}}$

Schritt 4.14.6.5

Vereinfache.

$\frac{2 \cdot x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{(4 + x) (4 - x)}$

$\frac{2 x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{(4 + x) (4 - x)}$