Analysis Beispiele

$y = 2 x^{3} - \sqrt{x} + \sec (x) - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - \sqrt{x} + \sec (x) - \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 3.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Schritt 5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 5.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 5.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 5.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 5.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + 4 x^{- 3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 6.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$6 x^{2} + \sec (x) \tan (x) + \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$