Analysis Beispiele

$y = \cos (4 e^{2 x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 e^{2 x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 e^{2 x}$ .

$- \sin (4 e^{2 x}) \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (4 e^{2 x}) (4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin (4 e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 4 \sin (4 e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 4 \sin (4 e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 4 \sin (4 e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 \sin (4 e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \sin (4 e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$- 8 \sin (4 e^{2 x}) e^{2 x}$

Schritt 4.4.2

Stelle die Faktoren von $- 8 \sin (4 e^{2 x}) e^{2 x}$ um.

$- 8 e^{2 x} \sin (4 e^{2 x})$