Analysis Beispiele

$y = \cos (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (8 x)$ und $g (x) = \ln (\cos^{2} (8 x))$ .

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos^{2} (8 x))] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos^{2} (8 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\cos (8 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\frac{1}{\cos^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (8 x)}$ nach $\sec^{2} (8 x)$ um.

$\cos (8 x) (\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (8 x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (8 x)$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (8 x)$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 5

Potenziere $\cos (8 x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 6

Potenziere $\cos (8 x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos^{1} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{2} (8 x) (2 {\cos (8 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (8 x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $8 x$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 9.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 9.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $8 x$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 10

Differenziere.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 10.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 10.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \cdot 1 + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $8 x$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 11.2

Die Ableitung von $\cos (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $- \sin (u_{4})$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 11.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $8 x$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 12

Differenziere.

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Schritt 12.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1)$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Stelle die Terme um.

$- 16 \cos^{2} (8 x) \sec^{2} (8 x) \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 13.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1

Schreibe $\sec (8 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 16 \cos^{2} (8 x) {(\frac{1}{\cos (8 x)})}^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 13.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (8 x)}$ an.

$- 16 \cos^{2} (8 x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 13.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (8 x)$ .

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Schritt 13.2.3.1

Faktorisiere $\cos^{2} (8 x)$ aus $- 16 \cos^{2} (8 x)$ heraus.

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 13.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 13.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 16 \cdot 1^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 13.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 16 \cdot 1 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

Schritt 13.2.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$- 16 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$