Analysis Beispiele

$y = \cos (x) \tan (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.6.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.6.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Schritt 4.5.2.4

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x)$