Analysis Beispiele

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{x - 1}$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Schritt 3.6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.4

Mutltipliziere $\sin (\frac{x}{x - 1})$ mit $1$ .

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Kombiniere $\sin (\frac{x}{x - 1})$ und $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$