Analysis Beispiele

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{2 x}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{e^{2 x}}{3}$ an.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{4 x}}{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{4 x}$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Schritt 5.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

Schritt 5.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

Schritt 5.6

Multipliziere $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ .

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ und $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Schritt 5.6.3

Kombiniere $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$