Analysis Beispiele

$y = \arcsin (\sqrt{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{1}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x} \cdot 2}$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{1 - x}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - x}}$

Schritt 13.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x}}$