Analysis Beispiele

$y = \cos (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - e^{9 x}$ und $g (x) = 1 + e^{9 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{9 x}] - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{9 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{9 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{9 x}]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{9 x}]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{9 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) \frac{d}{d x} [- e^{9 x}] - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{9 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{9 x}]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [9 x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [9 x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x} \cdot 1) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{9 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{9 x}])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 5.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{9 x}])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 5.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $9 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [9 x])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [9 x])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $9 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $e^{9 x}$ mit $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $\frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$ und $\sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})$ .

$- \frac{((1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(1 (- 9 e^{9 x}) + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(1 (- 9 e^{9 x}) + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) + (- 9 \cdot 1 - 9 (- e^{9 x})) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(1 (- 9 e^{9 x}) + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1

Mutltipliziere $- 9 e^{9 x}$ mit $1$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{9 x} e^{9 x} - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3

Multipliziere $e^{9 x}$ mit $e^{9 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.3.1

Bewege $e^{9 x}$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 (e^{9 x} e^{9 x}) - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{9 x + 9 x} - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3.3

Addiere $9 x$ und $9 x$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.5

Multipliziere $e^{9 x}$ mit $e^{9 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.5.1

Bewege $e^{9 x}$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- (e^{9 x} e^{9 x}))) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x + 9 x})) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.5.3

Addiere $9 x$ und $9 x$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- e^{18 x})) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} + 9 e^{18 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} + 9 e^{18 x}$ .

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Schritt 8.4.2.1

Addiere $- 9 e^{18 x}$ und $9 e^{18 x}$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} + 0 - 9 e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.2.2

Addiere $- 9 e^{9 x}$ und $0$ .

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.3

Subtrahiere $9 e^{9 x}$ von $- 9 e^{9 x}$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{1^{3} - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.2

Schreibe $e^{9 x}$ als ${(e^{3 x})}^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{1^{3} - {(e^{3 x})}^{3}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = e^{3 x}$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{3 x}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1^{3} - e^{3 x}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4.2

Schreibe $e^{3 x}$ als ${(e^{x})}^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1^{3} - {(e^{x})}^{3}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4.3

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1^{2} + 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.4.4.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 8.4.4.4.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{x \cdot 2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4.4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.4.5

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1^{2} + e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.4.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Schritt 8.4.4.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{3 x \cdot 2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.4.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.5.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{1^{3} + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.2

Schreibe $e^{9 x}$ als ${(e^{3 x})}^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{1^{3} + {(e^{3 x})}^{3}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = e^{3 x}$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{3 x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.5.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1^{3} + e^{3 x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.2

Schreibe $e^{3 x}$ als ${(e^{x})}^{3}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1^{3} + {(e^{x})}^{3}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.3

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1^{2} - 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.5.4.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.4.2

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 8.4.5.4.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x} + e^{x \cdot 2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x} + e^{2 x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.4.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.6

Schreibe $- 1 e^{3 x}$ als $- e^{3 x}$ um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.7

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Schritt 8.4.5.4.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - e^{3 x} + e^{3 x \cdot 2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - e^{3 x} + e^{6 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.5.4.8

Stelle die Terme um.

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.5

Vereine die Terme

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Schritt 8.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

Schritt 8.5.3

Mutltipliziere $\frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$