Analysis Beispiele

$y = \cos ({(π x)}^{4})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = {(π x)}^{4}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(π x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(π x)}^{4}$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 3.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} (π \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere ${(π x)}^{3}$ mit $1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $π x$ an.

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $π x$ an.

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (π^{3} x^{3} π)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} (π^{3} π^{1}))$

Schritt 4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{3 + 1})$

Schritt 4.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$ um.

$- 4 π^{4} x^{3} \sin (π^{4} x^{4})$