Analysis Beispiele

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Schritt 2.3

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + 0)$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(x + \frac{π}{2})}^{2} + 1}$