Analysis Beispiele

$y = \arctan (\ln (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln^{2} (x)) x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{1 x + \ln^{2} (x) x}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x + \ln^{2} (x) x}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x \ln^{2} (x) + x}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln^{2} (x) + x$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x^{1}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x \cdot 1}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln^{2} (x)) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x) + 1)}$