Analysis Beispiele

$y = - 6 x {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(3 x - 1)}^{2}$ als $(3 x - 1) (3 x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [- 6 x ((3 x - 1) (3 x - 1))]$

Schritt 2

Multipliziere $(3 x - 1) (3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Schritt 4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ .

$- 6 (x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 6 x + 1] + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 6 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 (x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 (x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- 6 (x (18 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + 0) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.9

Addiere $18 x - 6$ und $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \cdot 1)$

Schritt 6.11

Mutltipliziere $9 x^{2} - 6 x + 1$ mit $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 (x (18 x) + x \cdot - 6 + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 (x (18 x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x^{1})) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 (18 x^{1 + 1}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- 6 (18 x^{2}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $18$ mit $- 6$ .

$- 108 x^{2} - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.6

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 108 x^{2} - 6 (- 6 \cdot x) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $9$ mit $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 54 x^{2} - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.9

Subtrahiere $54 x^{2}$ von $- 108 x^{2}$ .

$- 162 x^{2} + 36 x - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$- 162 x^{2} + 36 x + 36 x - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.11

Addiere $36 x$ und $36 x$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6 \cdot 1$

Schritt 7.3.12

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6$