Analysis Beispiele

$y = \sin (3 x) + \cos (2 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (3 x) + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$3 \cos (3 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos (3 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$3 \cos (3 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (3 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cos (3 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 \cos (3 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \cos (3 x) - 2 \sin (2 x)$