Analysis Beispiele

$y = \sin (\sqrt{2 x})$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\sin (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$