Analysis Beispiele

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.4

Vereine die Terme

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.5

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

Schritt 5.4.6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

Schritt 5.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Schritt 5.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Schritt 5.6

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $x \sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Schritt 5.6.3

Multipliziere mit $1$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

Schritt 5.6.4

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec^{3} (x)$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Schritt 5.6.5

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Schritt 5.6.6

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Schritt 5.6.7

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

Schritt 5.7

Stelle $1$ und $- \sec^{2} (x)$ um.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

Schritt 5.9

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 5.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

Schritt 5.11

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 5.12

Subtrahiere $\tan^{2} (x)$ von $- \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

Schritt 5.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

Schritt 5.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 5.15

Stelle die Faktoren in $\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ um.

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$