Analysis Beispiele

$y = \sec (\sin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$ um.

$\cos (x) \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x))$

Schritt 3.2

Schreibe $\sec (\sin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Schritt 3.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Schritt 3.4

Schreibe $\tan (\sin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Schritt 3.5

Multipliziere $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ mit $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Schritt 3.5.2

Potenziere $\cos (\sin (x))$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $\cos (\sin (x))$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $\cos (\sin (x))$ aus $\cos^{2} (\sin (x))$ heraus.

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Schritt 3.7

Separiere Brüche.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Schritt 3.9

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Schritt 3.10.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ nach $\sec (\sin (x))$ um.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.11

Wandle von $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ nach $\tan (\sin (x))$ um.

$\tan (\sin (x)) \cos (x) \sec (\sin (x))$