Analysis Beispiele

$y = \ln (\cos (e^{x}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (e^{x})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (e^{x})$ .

$\frac{1}{\cos (e^{x})} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ nach $\sec (e^{x})$ um.

$\sec (e^{x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = e^{x}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$ um.

$- e^{x} \sec (e^{x}) \sin (e^{x})$

Schritt 5.2

Schreibe $\sec (e^{x})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- e^{x} \frac{1}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ und $e^{x}$ .

$- \frac{e^{x}}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Schritt 5.4

Kombiniere $\sin (e^{x})$ und $\frac{e^{x}}{\cos (e^{x})}$ .

$- \frac{\sin (e^{x}) e^{x}}{\cos (e^{x})}$

Schritt 5.5

Separiere Brüche.

$- (\frac{e^{x}}{1} \cdot \frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})})$

Schritt 5.6

Wandle von $\frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})}$ nach $\tan (e^{x})$ um.

$- (\frac{e^{x}}{1} \tan (e^{x}))$

Schritt 5.7

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$- e^{x} \tan (e^{x})$