Analysis Beispiele

$y = \ln (\arctan (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \arctan (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{\arctan (x)}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (1 + x^{2})}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\arctan (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $\arctan (x)$ aus $x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $\arctan (x)$ aus $x^{2} \arctan (x)$ heraus.

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x)}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $\arctan (x)$ aus $\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{\arctan (x) (x^{2} + 1)}$