Analysis Beispiele

$y = \ln (\sec (9 x) + \tan (9 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 9 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \cdot 9 + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 4.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sec (9 x) \tan (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \cdot (\sec (9 x) \tan (9 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 9 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\tan (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \cdot 1))$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \cdot 9)$

Schritt 6.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \cdot \sec^{2} (9 x))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x))$ um.

$(9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.3

Multipliziere $9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ .

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ und $9$ .

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ und $\sec (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ und $\tan (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.4

Multipliziere $9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ .

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Schritt 7.4.1

Kombiniere $\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ und $9$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec^{2} (9 x)$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ und $\sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $9 \sec (9 x)$ aus $9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)$ heraus.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $9 \sec (9 x)$ aus $9 \sec (9 x) \tan (9 x)$ heraus.

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.6.2

Faktorisiere $9 \sec (9 x)$ aus $9 \sec^{2} (9 x)$ heraus.

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $9 \sec (9 x)$ aus $9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))$ heraus.

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x) + \sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$