Analysis Beispiele

$y = \ln (\sin (2 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$\csc (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\csc (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\csc (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\csc (2 x) \cos (2 x)$ .

$2 \cdot (\csc (2 x) \cos (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $2 \csc (2 x) \cos (2 x)$ um.

$2 \cos (2 x) \csc (2 x)$

Schritt 5.2

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.3

Multipliziere $2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$ .

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin (2 x)}$ und $2$ .

$\frac{2}{\sin (2 x)} \cos (2 x)$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{2}{\sin (2 x)}$ und $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.4

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.5

Wandle von $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ nach $\cot (2 x)$ um.

$\frac{2}{1} \cot (2 x)$

Schritt 5.6

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \cot (2 x)$