Analysis Beispiele

$y = \ln (- 42 x^{2} + 11 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = - 42 x^{2} + 11 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 42 x^{2} + 11 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 2.2

Da $- 42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 42 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 42$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 2.5

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \cdot 1)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$ um.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 42 x^{2} + 11 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 42 x^{2}$ heraus.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + 11 x}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $11 x$ heraus.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + x \cdot 11}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 42 x) + x \cdot 11$ heraus.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x + 11)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 84 x + 11$ mit $\frac{1}{x (- 42 x + 11)}$ .

$\frac{- 84 x + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 84 x$ heraus.

$\frac{- (84 x) + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Schritt 3.5

Schreibe $11$ als $- 1 (- 11)$ um.

$\frac{- (84 x) - 1 (- 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (84 x) - 1 (- 11)$ heraus.

$\frac{- (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Schritt 3.7

Schreibe $- (84 x - 11)$ als $- 1 (84 x - 11)$ um.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 42 x$ heraus.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) + 11)}$

Schritt 3.9

Schreibe $11$ als $- 1 (- 11)$ um.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) - 1 (- 11))}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (42 x) - 1 (- 11)$ heraus.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x - 11))}$

Schritt 3.11

Schreibe $- (42 x - 11)$ als $- 1 (42 x - 11)$ um.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Schritt 3.13

Forme den Ausdruck um.

$\frac{84 x - 11}{x (42 x - 11)}$