Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2} - 7 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 7 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 7 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 7 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 7 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 + 0)$

Schritt 2.7

Addiere $2 x - 7$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7)$ um.

$(2 x - 7) \frac{1}{x^{2} - 7 x + 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2 x - 7$ mit $\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 7}{x^{2} - 7 x + 1}$