Analysis Beispiele

$y = \ln (\arctan (5 x^{2}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \arctan (5 x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 (x^{2})$ an.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{4}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + 25 x^{4}}$ mit $\frac{1}{\arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (2 x)$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ und $x$ .

$\frac{10 x}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 x}{1 \arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\arctan (5 x^{2})$ mit $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{10 x}{25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $\arctan (5 x^{2})$ aus $25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $\arctan (5 x^{2})$ aus $25 x^{4} \arctan (5 x^{2})$ heraus.

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2})}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $\arctan (5 x^{2})$ aus $\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1$ heraus.

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4} + 1)}$