Analysis Beispiele

$y = \ln (\cos^{2} (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sec^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 7.7

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{2}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

Schritt 7.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.9

Separiere Brüche.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 7.10

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- (\frac{2}{1} \tan (x))$

Schritt 7.11

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- (2 \tan (x))$

Schritt 7.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \tan (x)$