Analysis Beispiele

$y = \ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ zu dividieren.

$1 \frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ mit $1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 + e^{x}$ und $g (x) = 5 - e^{x}$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + 1 (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $5 + e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ mit $\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Faktorisiere $5 - e^{x}$ aus $(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}$ heraus.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1.1

Addiere $- e^{x} e^{x}$ und $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x} + 0}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Schritt 11.3.1.2

Addiere $5 e^{x} + 5 e^{x}$ und $0$ .

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Schritt 11.3.2

Addiere $5 e^{x}$ und $5 e^{x}$ .

$\frac{10 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$