Analysis Beispiele

$y = \arctan (\sinh (8 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \sinh (8 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sinh (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sinh (8 x)$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sinh (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sinh (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sinh (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cosh (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\cosh (8 x)$ und $\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ .

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Kombiniere $8$ und $\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \cdot 1$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ mit $1$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{8 \cosh (8 x)}{\sinh^{2} (8 x) + 1}$