Analysis Beispiele

$y = \frac{7}{4} \cdot \sqrt[6]{9 - 8 x^{16}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{9 - 8 x^{16}}$ als ${(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{4} \cdot {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{7}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{4} \cdot {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{4} \frac{d}{d x} [{(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}]$ .

$\frac{7}{4} \frac{d}{d x} [{(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{6}}$ und $g (x) = 9 - 8 x^{16}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - 8 x^{16}$ .

$\frac{7}{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{6}$ .

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - 8 x^{16}$ .

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und ${(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{7}{4} (\frac{{(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 7.3

Bringe ${(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{6 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ mit $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{6 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}]$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - 8 x^{16}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}]$ .

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}])$

Schritt 9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 8 x^{16}]$ .

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}]$

Schritt 11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{16}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{16}]$ .

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{16}])$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{- 8 \cdot 7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$\frac{- 56}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

Schritt 12.3

Faktorisiere $8$ aus $- 56$ heraus.

$\frac{8 (- 7)}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $8$ aus $24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}$ heraus.

$\frac{8 (- 7)}{8 (3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}})} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot - 7}{8 (3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}})} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 16$ .

$- \frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (16 x^{15})$

Schritt 16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- 16 \frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} x^{15}$

Schritt 16.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{- 16 \cdot 7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} x^{15}$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $7$ .

$\frac{- 112}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} x^{15}$

Schritt 16.4

Kombiniere $\frac{- 112}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ und $x^{15}$ .

$\frac{- 112 x^{15}}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$

Schritt 16.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{112 x^{15}}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$