Analysis Beispiele

$y = 7^{2 x} \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 7^{2 x}$ und $g (x) = \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$ .

$7^{2 x} \frac{d}{d x} [\log (7 x^{3} - 4 x + 5)] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = 7 x^{3} - 4 x + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $7 x^{3} - 4 x + 5$ .

$7^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$7^{2 x} (\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 x^{3} - 4 x + 5$ .

$7^{2 x} (\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)}$ und $7^{2 x}$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{3} - 4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{3}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + 0) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 3.10

Addiere $21 x^{2} - 4$ und $0$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 7^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [7^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{u_{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \cdot 1))$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \cdot 2)$

Schritt 5.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7^{2 x} \ln (7)$ .

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot (7^{2 x} \ln (7)))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot 7^{2 x} \ln (7))$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$(21 x^{2} - 4) \frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} + 2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$