Analysis Beispiele

$y = 7^{4 x - x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 7^{x}$ und $g (x) = 4 x - x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - x^{2}$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - (2 x))$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - 2 x)$

Schritt 2.7.2

Stelle die Faktoren von $7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - 2 x)$ um.

$7^{4 x - x^{2}} (4 - 2 x) \ln (7)$