Analysis Beispiele

$y = \frac{6 x}{5 - \tan (x)}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{5 - \tan (x)}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 - \tan (x)}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 - \tan (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 5 - \tan (x)$ .

$6 \frac{(5 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{(5 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5 - \tan (x)$ mit $1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [5 - \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$6 \frac{5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $6$ und $\frac{5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{6 (5 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cdot 5 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{30 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{30 - 6 \tan (x) + 6 x \sec^{2} (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x \sec^{2} (x) + 30 - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x \sec^{2} (x) + 30 - 6 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 30 - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5) - 6 \tan (x)}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \tan (x)$ heraus.

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5) + 6 (- \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (5)$ heraus.

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 5) + 6 (- \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x \sec^{2} (x) + 5) + 6 (- \tan (x))$ heraus.

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 5 - \tan (x))}{{(5 - \tan (x))}^{2}}$