Analysis Beispiele

$y = \frac{- 9 e^{3 x}}{7 x + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}]$

Schritt 1.2

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{3 x}$ und $g (x) = 7 x + 3$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \cdot 1) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} \cdot 3 - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $(7 x + 3) e^{3 x}$ .

$- 9 \frac{3 \cdot ((7 x + 3) e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + 0)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.9.1

Addiere $7$ und $0$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} \cdot 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.9.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{9 ((3 (7 x) + 3 \cdot 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x} + 3 \cdot 3 e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$- \frac{9 (21 x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Mutltipliziere $21$ mit $9$ .

$- \frac{189 (x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 9 (9 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $9$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} - 63 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $63 e^{3 x}$ von $81 e^{3 x}$ .

$- \frac{189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $189 x e^{3 x}$ heraus.

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $18 e^{3 x}$ heraus.

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)$ heraus.

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x + 2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$