Analysis Beispiele

$y = \frac{8 x - 7}{3 x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x - 7$ und $g (x) = 3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 7] - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 + 0) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{(3 x + 1) \cdot 8 - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $3 x + 1$ .

$\frac{8 \cdot (3 x + 1) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - 3 (8 x - 7)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (3 x) + 8 \cdot 1 - 3 (8 x - 7)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (3 x) + 8 \cdot 1 - 3 (8 x) - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 (3 x) + 8 \cdot 1 - 3 (8 x) - 3 \cdot - 7$ .

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Schritt 3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $8 (3 x)$ und $- 3 (8 x)$ neu an.

$\frac{3 \cdot 8 x + 8 \cdot 1 - 3 \cdot 8 x - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $3 \cdot 8 x$ von $3 \cdot 8 x$ .

$\frac{8 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $8 \cdot 1$ und $0$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8 - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 7$ .

$\frac{8 + 21}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $8$ und $21$ .

$\frac{29}{{(3 x + 1)}^{2}}$