Analysis Beispiele

$y = \frac{8}{x} + 3 \sec (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{8}{x} + 3 \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sec (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 8 x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 8 x^{- 2} + 3 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{2}} + 3 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 8}{x^{2}} + 3 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{x^{2}} + 3 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$3 \sec (x) \tan (x) - \frac{8}{x^{2}}$