Analysis Beispiele

$y = \frac{- 8 e^{6 x}}{7 x - 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Schritt 1.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{6 x}$ und $g (x) = 7 x - 2$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $(7 x - 2) e^{6 x}$ .

$- 8 \frac{6 \cdot ((7 x - 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.9.1

Addiere $7$ und $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.9.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 ((6 (7 x) + 6 \cdot - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x} + 6 \cdot - 2 e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$- \frac{8 (42 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Mutltipliziere $42$ mit $8$ .

$- \frac{336 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} + 8 (- 12 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} - 56 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $56 e^{6 x}$ von $- 96 e^{6 x}$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $8 e^{6 x}$ aus $336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $8 e^{6 x}$ aus $336 x e^{6 x}$ heraus.

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $8 e^{6 x}$ aus $- 152 e^{6 x}$ heraus.

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $8 e^{6 x}$ aus $8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)$ heraus.

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x - 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$