Analysis Beispiele

$y = arccsc (x^{4} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arccsc (x)$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arccsc (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3})$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Schritt 2.4.4

Kombiniere $\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Schritt 2.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{4} + 1$ und $b = 1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 1 + 1) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Schritt 3.1.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 0)}}$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) x^{4}}}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $(x^{4} + 2) x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) {(x^{2})}^{2}}}$

Schritt 3.1.4.2

Stelle $x^{4} + 2$ und ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} (x^{4} + 2)}}$

Schritt 3.1.4.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)}}$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{{(x^{2})}^{2} + 2})}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{2 \cdot 2} + 2})}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}$ heraus.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- (\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}})$

Schritt 3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Schritt 3.4.2

Bewege $\sqrt{x^{4} + 2}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (\sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\sqrt{x^{4} + 2}$ mit $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Schritt 3.4.4

Potenziere $\sqrt{x^{4} + 2}$ mit $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1})}$

Schritt 3.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe ${\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}$ als $x^{4} + 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} + 2}$ als ${(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {({(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{1}}$

Schritt 3.4.7.5

Vereinfache.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 2)}$