Analysis Beispiele

$y = \frac{9 x^{2} + 2}{x^{2} + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 9 x^{2} + 2$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 2] - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $18 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $18$ auf die linke Seite von $x^{2} + 7$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $18$ mit $7$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x$ .

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $18 x^{3}$ von $18 x^{3}$ .

$\frac{126 x + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $126 x$ und $0$ .

$\frac{126 x - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $4 x$ von $126 x$ .

$\frac{122 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$