Analysis Beispiele

$y = \arccos (\frac{11}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = \frac{11}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{11}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arccos (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{11}{x}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{11}{x}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} (11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$- 11 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $- 11$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{- 11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}}$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{11 x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}}}$

Schritt 2.4.4

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{11}{\sqrt{1 - {(\frac{11}{x})}^{2}} x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{x}$ an.

$\frac{11}{\sqrt{1 - \frac{11^{2}}{x^{2}}} x^{2}}$

Schritt 3.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\frac{11}{\sqrt{1 - \frac{121}{x^{2}}} x^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{11}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{121}{x^{2}}}}$