Analysis Beispiele

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (\ln (2 x))$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\frac{1}{u_{3}}$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{- 2}{2 x}$ und $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ und $\sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ heraus.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ .

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Stelle $2 \cos (\ln (2 x))$ und $\sin (\ln (2 x))$ um.

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

Schritt 6.2

Stelle $\sin (\ln (2 x))$ und $2$ um.

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

Schritt 6.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

Schritt 6.4

Vereinfache $2 \ln (2 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

Schritt 6.5

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

Schritt 6.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$