Analysis Beispiele

$y = - \arccos (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \arccos (\frac{1}{x^{3}})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arccos (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} x^{- 4}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.1

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

Schritt 3.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x^{3}}$ an.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{3 \cdot 2}}} x^{4}}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{6}}} x^{4}}$