Analysis Beispiele

$y = \ln ({(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{7}{4}}$ und $g (x) = 9 x^{6} + 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 x^{6} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {u_{2}}^{\frac{7}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 x^{6} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4}$ mit $\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}}$ .

$\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 9

Bringe ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}} {(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Multipliziere ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ mit ${(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1

Bewege ${(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{7}{4 ({(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}})} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4} + \frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{- 3 + 7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 10.1.4

Addiere $- 3$ und $7$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{4}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 10.1.5

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 10.2

Vereinfache $4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{6} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 12

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{6}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (9 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 14

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 15

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5 \cdot 1)$

Schritt 17

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7}{4 (9 x^{6}) + 4 (5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Schritt 18.2

Vereine die Terme

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Schritt 18.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{7}{36 x^{6} + 4 (5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Schritt 18.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{7}{36 x^{6} + 20 x} (54 x^{5} + 5)$

Schritt 18.3

Stelle die Faktoren von $\frac{7}{36 x^{6} + 20 x} (54 x^{5} + 5)$ um.

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{36 x^{6} + 20 x}$

Schritt 18.4

Faktorisiere $4 x$ aus $36 x^{6} + 20 x$ heraus.

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Schritt 18.4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $36 x^{6}$ heraus.

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5}) + 20 x}$

Schritt 18.4.2

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x$ heraus.

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5}) + 4 x (5)}$

Schritt 18.4.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (9 x^{5}) + 4 x (5)$ heraus.

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$

Schritt 18.5

Mutltipliziere $54 x^{5} + 5$ mit $\frac{7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$ .

$\frac{(54 x^{5} + 5) \cdot 7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$

Schritt 18.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $54 x^{5} + 5$ .

$\frac{7 (54 x^{5} + 5)}{4 x (9 x^{5} + 5)}$