Analysis Beispiele

$y = \ln ({(3 - x)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = 3 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 9

Bringe ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Multipliziere ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ mit ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Bewege ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 10.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 10.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 10.2

Vereinfache $2 {(3 - x)}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \cdot - 1$

Schritt 16.2

Kombiniere $\frac{3}{2 (3 - x)}$ und $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2 (3 - x)}$

Schritt 16.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{2 (3 - x)}$

Schritt 16.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 (3 - x)}$