Analysis Beispiele

$y = \frac{\log (x)}{1 + \log (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = 1 + \log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\log (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \log (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\log (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (10)}$ und $\log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 6

Um $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ und $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 10

Kombiniere $\ln (10)$ und $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (10)$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 13

Mutltipliziere $1 + \log (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 14

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 16

Schreibe $\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}$ mit $\frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1.1

Die logarithmische Basis $10$ von $1$ ist $0$ .

$\frac{1 + 0}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 18.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 18.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Schritt 18.3

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ um.

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$